Die 3 Monate stellen ja die Kündigungsfrist dar. Und leider ist die Mutter Deines Freundes da im Recht. Wie ich das verstanden habe, steht ihr beide im Mietvertrag? (Was die Frage offen lässt, wieso Du keine Ausfertigung davon hast oder die Kontaktdaten des Vermieters)
Ich würde mit ihr bzw. Deinem Ex die Vereinbarung schriftlich fixieren; du machst mit Deinem Freund bzw. ihr einen entsprechenden Vertrag, dass Du die nächsten 3 Monatsmieten zahlst und danach aus dem Mietverhältnis entlassen wirst. Bzgl. der Mieten auch unbedingt die Höhe festhalten!
Die Zahlungen würde ich ausschließlich per Überweisung tätigen, so dass Du jederzeit einen Nachweis dafür hast, dass die Zahlung getätigt wurde.
Bzgl. "solange nicht zahlen bis zu was schriftlich hast" - das Argument ist in diesem Fall leider zwiespältig. Es liegt ja etwas schriftliches vor - und das ist der Mietvertrag, in dem Du stehst und den Du unterzeichnet hast. Solange dieser nichts rechtswirksam aufgelöst / gekündigt ist, ist das die schriftliche Vertragsgrundlage.